Тут надо было бы определить, что есть квадрацикл с точки зрения ПДД.
Исходя из нынедействующих определений для квадрацикла подходит два определения:
2.69. транспортное средство - устройство, предназначенное для движения по дороге и для перевозки пассажиров, грузов или установленного на нем оборудования;
Но квадрациклы, на сколько мне известно не используют в качестве перевозчика пассажиров или грузов или установленного на нем оборудования. Это скорее средство развлечения. Поэтому, ИМХО, следующее определение подходит гораздо больше.
2.60. самоходная машина – гусеничный трактор, сельскохозяйственная, дорожная, строительная, иная машина, не предназначенная для участия в дорожном движении;
здесь же
2.17. дорожное движение - движение пешеходов и (или) транспортных средств по дороге, в том числе стоянка и остановка в пределах дороги, и связанные с ним общественные отношения;
Соответственно как только квадрацикл подпадает под действие п. 2.17 водителю можно вменить нарушение ГЛАВА 26. Основные положения о допуске транспортных средств к участию в дорожном движении, их техническое состояние, оборудование
194.1. конструкция и техническое состояние которого не отвечает требованиям технических нормативных правовых актов;
со всеми вытекающими